Elektronický vzdelávací materiál

Kružnica trojuhlníka opísaná

Osi strán každého trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom kružnice opísanej trojuholníku.

Dôkaz. Pri dôkaze využijeme vlastnosti osi úsečky. Os úsečky definujeme ako priamku prechádzajúcu stredom úsečky kolmo na úsečku.

Os úsečky môžeme tiež definovať ako množinu všetkých bodov roviny, ktoré majú od krajných bodov úsečky rovnakú vzdialenosť.

Pretože strany a, b trojuholníka ABC sú rôznobežné, sú rôznobežné aj ich osi oa, ob. Ukážeme, že priesečníkom S osí o_a, o_b prechádza aj os o_c strany c.

Bod S má od vrcholov trojuholníka rovnakú vzdialenosť, preto je stre-dom kružnice opísanej trojuholníku.

Stred opísanej kružnice sa nachádza:

Vo vnútornej oblasti trojuholníka, ak je trojuholník ostrouhlý.

Vo vonkajšej oblasti trojuholníka, ak je trojuholník tupouhlý.

V strede prepony, ak je trojuholník pravouhlý.

Pre polomer kružnice opísanej trojuholníku ABC platí:

r =
a/2sin α
=
b/2sin β
=
c/2sin γ